Uma vacina falsa pareceria ter salvado milhões de vidas ?

Simulação matemática mostra como uma curva de antes e depois pode enganar uma população inteira, e ensina o leitor a auditar os dados por conta própria

Como ler esta matéria. A Explicação simples resumida conta a história inteira e basta para entender a matéria. A Explicação avançada, mais abaixo, traz as equações, as derivações e o método numérico para quem quiser conferir cada passo.

Simulador

Mude os parâmetros e veja a epidemia recalculada, dia a dia.

Pico de infectados–

Imunidade de rebanho–

Fim da epidemia–

Óbitos–

Como a população se divide, dia a dia

Suscetíveis Infectados Imunes pela doença Imunes pela vacina Cobertura da campanha

Óbitos acumulados

Parte 1

Explicação simples resumida

Imagine o planeta inteiro dividido em cinco grupos. Os suscetíveis nunca tiveram contato com o vírus. Os expostos já foram contaminados, mas ainda não transmitem (é o período de incubação, de cerca de 4 dias). Os infectados transmitem o vírus por cerca de 5 dias. Depois disso, cada pessoa vai para um de dois grupos finais: imunes ou mortos.

O modelo acompanha, dia após dia, quantas pessoas passam de um grupo para o outro. A pergunta da matéria é simples: quantos dias até não sobrar ninguém para infectar?

A resposta: cerca de 300 dias. Mas nem todo mundo pega

Com o vírus original de 2020, cada infectado passava a doença, em média, para 2,8 pessoas. Esse número se chama R0. Sem vacina, sem isolamento e com imunidade permanente, o modelo mostra:

o pico acontece no dia 106, com cerca de 2,2 bilhões de pessoas contaminadas ao mesmo tempo;
a epidemia termina por volta do dia 300, quando resta menos de uma pessoa infectada no planeta;
morrem cerca de 44 milhões de pessoas.

O detalhe que surpreende: 7,4% da humanidade nunca se infecta. O vírus não acaba porque todos pegaram, e sim porque os imunes ficaram tantos que o vírus não encontra mais quem contaminar. A partir de 64% de imunes, cada doente passa a contaminar menos de uma pessoa, e a epidemia começa a encolher sozinha. Esse ponto é a imunidade de rebanho.

Uma variante mais contagiosa não mata muito mais gente. Ela chega ao mesmo destino mais rápido.

Variante	R0	Pico	Fim	Óbitos
Ancestral (2020)	2,8	dia 106	dia 298	44,4 mi
Delta	5	dia 60	dia 193	47,7 mi
Ômicron	9	dia 37	dia 158	48,0 mi

Todas as simulações usam a população mundial (8 bilhões), letalidade de 0,6% e imunidade permanente. Com a Ômicron, a epidemia dura metade do tempo, mas o total de mortes quase não muda: a diferença é que agora praticamente ninguém escapa. A letalidade real da Ômicron foi menor, porque boa parte do mundo já estava vacinada ou já tinha se infectado; aqui só o contágio muda, para isolar esse efeito.

Isolamento sozinho ganha tempo, não vidas

Reduzir os contatos pela metade entre os dias 30 e 120 empurra o pico do dia 106 para o dia 172. Mas, quando o isolamento termina, o vírus encontra a mesma população sem defesa, e o total de mortes no modelo continua em 44,4 milhões.

Isso não quer dizer que o isolamento seja inútil. O modelo não simula hospitais lotados. Na vida real, um pico menor e mais tardio significa leitos disponíveis, e isso reduz a letalidade. O isolamento compra tempo, e o valor dele depende do que se faz com esse tempo.

A vacina: o que conta é quando começa e o ritmo

No modelo, a vacina tira pessoas do grupo dos suscetíveis antes que o vírus chegue até elas. Com eficácia de 90%, aplicada no ritmo de 0,5% da população por dia, o resultado depende do dia em que a campanha começa:

Cenário (variante ancestral)	Óbitos	Redução
Sem vacina	44,4 mi	–
Vacina a partir do dia 90	41,5 mi	−7%
Vacina a partir do dia 60	34,1 mi	−23%
Vacina a partir do dia 30	25,5 mi	−43%
Dia 30, no dobro do ritmo (1%/dia)	6,6 mi	−85%
Isolamento (dias 30 a 120) + vacina a partir do dia 120	32,6 mi	−27%

A última linha mostra o isolamento funcionando junto com a vacina: sozinho ele não mudou o total de mortes, mas o tempo que ele ganhou deixou a vacina chegar antes do pico. Nesse caso, a vacinação começa um mês depois do cenário de 90 dias e ainda assim salva mais vidas.

Uma vacina que chega depois do pico quase não muda o número de mortos da primeira onda. Na vida real, as vacinas contra a covid levaram cerca de um ano para chegar. O valor delas veio das ondas seguintes, e isso leva ao ponto mais importante do estudo.

E se a imunidade não durar para sempre?

Os anticorpos contra o coronavírus caem com o tempo, em algo entre 6 e 9 meses. Quando o modelo inclui essa perda, quem se curou volta, aos poucos, para o grupo dos suscetíveis, e a resposta à pergunta da matéria muda completamente:

Com imunidade temporária, o dia em que todos estão imunes ou mortos nunca chega. O vírus deixa de ser uma epidemia e passa a circular para sempre.

O primeiro pico é quase idêntico, mas depois dele vêm novas ondas cada vez menores, até o vírus se estabilizar num nível constante, o que os epidemiologistas chamam de doença endêmica. Com imunidade de 180 dias, cerca de 1,7% da população estaria transmitindo o vírus a qualquer momento, indefinidamente.

Nesse cenário, o modelo chega a cerca de 300 milhões de mortes em 5 anos. Esse número está muito inflado, e de propósito: o modelo trata cada reinfecção como tão perigosa quanto a primeira. Na realidade, a memória imunológica (células T e B) protege contra os casos graves mesmo quando os anticorpos já caíram. O número serve para mostrar o mecanismo, e não como estimativa.

Uma vacina falsa pareceria funcionar?

Esta seção não afirma que houve fraude. Ela mostra que o engano é matematicamente possível para quem olha apenas a curva de casos, por que a pergunta é legítima e como qualquer pessoa pode respondê-la com dados.

Uma epidemia com imunidade permanente para sozinha, porque o vírus fica sem ter a quem infectar. Isso significa que qualquer coisa lançada perto do pico parece funcionar: uma vacina, um remédio, uma oração ou uma injeção de água com sal.

O simulador permite testar esse cenário. Uma campanha com vacina placebo (eficácia zero) começa no dia 90 e aplica doses em 0,5% da população por dia. Ela não protege ninguém. Mesmo assim:

no dia 90, quando a campanha começa, morrem cerca de 367 mil pessoas por dia no mundo;
no dia 150, com 30% da população "vacinada", são 40 mil por dia, uma queda de 89%;
no dia 180, com 45% "vacinados", são cerca de 1,1 mil por dia, uma queda de 99,7%.

Olhando só o antes e o depois, a vacina falsa parece um sucesso absoluto. A queda viria de qualquer jeito: o pico já estava a 11 dias de distância.

Essa armadilha tem nome: post hoc ergo propter hoc ("depois disso, logo por causa disso"). É perfeitamente possível enganar uma população inteira com um gráfico de antes e depois.

Como a ciência desmascara um placebo

É por isso que nenhuma vacina é aprovada olhando a curva da população. O teste é um ensaio clínico randomizado: milhares de voluntários são sorteados em dois grupos, e metade recebe a vacina e metade recebe placebo, sem que ninguém saiba quem tomou o quê. Os dois grupos vivem a mesma epidemia, no mesmo lugar e na mesma época. Se a curva cair sozinha, ela cai igual para os dois.

O gráfico abaixo simula esse ensaio dentro da epidemia do modelo, com 1.000 voluntários por grupo sorteados no dia 60:

Grupo vacinado Grupo placebo

Com uma vacina real, os grupos se separam: no dia 180, 925 dos 1.000 voluntários do grupo placebo já se infectaram, contra 92 do grupo vacinado. Com uma vacina falsa, as duas linhas ficam uma sobre a outra, e o placebo é desmascarado em poucas semanas, mesmo com a epidemia caindo lá fora.

Os fabricantes informam ter feito exatamente esse teste. Vale lembrar que esses resultados foram produzidos, em grande parte, pelos próprios fabricantes, que tinham bilhões de dólares em jogo. Segundo os resultados publicados, no ensaio da Pfizer/BioNTech, com cerca de 43 mil voluntários, houve 8 casos no grupo vacinado contra 162 no grupo placebo. No da Moderna, com cerca de 30 mil, foram 11 contra 185. No da CoronaVac, conduzido pelo Butantan no Brasil, a eficácia contra casos com sintomas ficou em torno de 50%. A lição vale para qualquer tratamento: uma curva caindo não prova nada. O que prova é a comparação, no mesmo período, com um grupo que não recebeu nada. E essa comparação pode, e deve, ser conferida.

Desconfiar não é negar

Negar é recusar a evidência. Desconfiar é pedir para vê-la. A própria ciência funciona assim: um resultado só vale depois que outras pessoas conseguem conferi-lo. Quem faz perguntas sobre a pandemia não é, por isso, um negacionista. Há fatos concretos e documentados que tornam essas perguntas razoáveis:

A origem do vírus continua sem resposta. A hipótese de vazamento de um laboratório em Wuhan, tratada como teoria da conspiração em 2020, passou a ser considerada plausível por agências do governo dos EUA, como o FBI e o Departamento de Energia. Não há consenso até hoje;
Houve resistência à transparência. A FDA, agência que regula medicamentos nos EUA, propôs liberar os documentos da aprovação da vacina da Pfizer em um ritmo que levaria décadas. Em 2022, um juiz federal obrigou a liberação em poucos meses;
Efeitos adversos raros só foram reconhecidos depois da aplicação em massa: inflamações no coração (miocardite) com as vacinas de RNA e casos de trombose com as de adenovírus (AstraZeneca e Janssen). Os riscos foram considerados raros, mas não foram inventados por quem desconfiava;
A pandemia foi ensaiada antes de acontecer. Em outubro de 2019, semanas antes dos primeiros casos, o exercício Event 201 simulou uma pandemia de coronavírus. Exercícios de preparação eram comuns, e o cenário fictício começava em fazendas de porcos no Brasil, não em Wuhan. Mas a coincidência de datas alimenta perguntas compreensíveis.

A indústria já mentiu antes

Desconfiar dos resultados dos testes também é legítimo, porque a história tem casos documentados de estudos manipulados para proteger interesses comerciais. Alguns deles estão em outra matéria deste site, As "Verdades Absolutas" que o Tempo Desmentiu:

Açúcar contra gordura: em 1967, uma associação da indústria do açúcar pagou pesquisadores de Harvard para publicar uma revisão que culpava a gordura, e não o açúcar, pelas doenças do coração. O financiamento só foi revelado em 2016, por documentos analisados na revista JAMA Internal Medicine;
Gordura vegetal hidrogenada: promovida por décadas como substituta mais saudável da manteiga, foi declarada insegura pela FDA em 2015, por causa das gorduras trans;
Vioxx: o anti-inflamatório da Merck foi retirado do mercado em 2004. Processos judiciais revelaram que a empresa conhecia sinais de risco cardíaco anos antes;
Tabaco: por décadas, a indústria financiou pesquisas para lançar dúvida sobre a relação entre cigarro e câncer.

E a própria covid teve episódios que alimentam essa desconfiança:

Denúncia sobre o ensaio da Pfizer: em 2021, o British Medical Journal publicou o relato de uma ex-funcionária da Ventavia, empresa contratada para conduzir parte do ensaio, que apontava falhas na integridade dos dados em alguns centros do estudo;
O público e o privado: e-mails de Anthony Fauci, liberados em 2021 por pedidos de acesso à informação, e mensagens de cientistas, reveladas em 2023 por uma investigação do Congresso americano, mostraram que a hipótese de origem em laboratório era discutida em privado enquanto era descartada em público.

E as mortes logo depois da vacina?

Muita gente conhece casos de pessoas que tomaram a vacina e morreram pouco depois. Esses relatos são reais e merecem uma resposta séria, e não deboche. A resposta vem da mesma lógica do simulador: comparar. A vacinação começou pelos mais velhos. Entre pessoas com mais de 90 anos, de 15% a 20% morrem a cada ano, de qualquer causa. Se 100 mil delas forem vacinadas, entre 1.300 e 1.800 morrerão no mês seguinte mesmo que a vacina não tenha efeito nenhum. Então a pergunta certa não é "houve mortes depois da vacina?", porque sempre haverá. A pergunta certa é: morreram mais vacinados do que o esperado para a idade deles, naquele período? Quem tem dados de idade, data de vacinação e data do óbito (sistemas de saúde e cartórios) tem exatamente o material para responder.

Não confie: audite

Esta matéria não pede que você acredite nos fabricantes, nas agências ou em nós. Os dados abaixo são públicos, e o leitor tem o direito de conferi-los:

Protocolos dos ensaios, registrados antes dos resultados, no ClinicalTrials.gov: Pfizer NCT04368728, Moderna NCT04470427, CoronaVac/Butantan NCT04456595. Vale comparar o que foi prometido com o que foi publicado;
Os artigos com os resultados, no New England Journal of Medicine (Polack et al., 2020; Baden et al., 2021);
Os documentos da Pfizer entregues à FDA, liberados por ordem judicial e disponíveis em phmpt.org;
O Projeto S, do Butantan, em Serrana (SP): a cidade inteira foi vacinada em etapas, bairro por bairro, em 2021. É um estudo feito no Brasil, com dados da cidade inteira;
Os sistemas de notificação de efeitos adversos: o VAERS nos EUA (vaers.hhs.gov) e o VigiMed da Anvisa no Brasil. Atenção: esses sistemas recebem notificações de qualquer pessoa, sem confirmação de causa;
As estatísticas de óbito por idade e situação vacinal, publicadas por vários países durante as ondas de 2021 e 2022.

Perguntas para quem for auditar

A divisão entre vacina e placebo foi feita por sorteio? Voluntários e médicos sabiam quem tomou o quê?
Como um "caso" foi definido, e os critérios foram iguais nos dois grupos?
O que foi medido: infecção, doença com sintomas, internação ou morte? (Os ensaios mediram principalmente doença com sintomas, não a transmissão.)
Por quanto tempo os voluntários foram acompanhados antes de o grupo placebo também ser vacinado?
Estudos de pesquisadores sem ligação com os fabricantes chegaram a resultados parecidos?

O contraponto: o que tornaria uma fraude difícil

Para ser justo com o leitor, é preciso dizer o que pesa do outro lado:

vacinas de países rivais, com tecnologias diferentes, relataram efeitos na mesma direção: CoronaVac (China), AstraZeneca (Reino Unido), Sputnik V (Rússia) e Pfizer e Moderna (EUA). Uma fraude única exigiria coordenação entre adversários geopolíticos;
o Projeto S, em Serrana, usou dados de uma cidade brasileira inteira, e não de voluntários selecionados;
vários países publicaram, com dados próprios dos seus sistemas de saúde, mortes por situação vacinal durante as ondas de 2021 e 2022.

Isso não prova a ausência de fraude. Mas é exatamente o que o leitor deve conferir: se os números independentes batem com os dos fabricantes.

Desconfiar é um direito. Verificar é o que transforma a desconfiança em conhecimento, seja para confirmar o que foi dito, seja para encontrar o que foi escondido.

O que este modelo não é

Não é uma previsão. A Organização Mundial da Saúde estima cerca de 14,9 milhões de mortes em excesso em 2020 e 2021, um terço do cenário sem nenhuma intervenção. A diferença vem justamente do que o modelo deixa de fora de propósito:

ele trata o planeta como uma única população em que todo mundo pode encontrar todo mundo, sem países, cidades ou fronteiras;
a letalidade é a mesma para todas as idades, embora na realidade seja milhares de vezes maior entre os idosos;
ninguém muda de comportamento por medo, e não há tratamentos que melhoram com o tempo.

O modelo serve para mostrar os mecanismos (por que a epidemia para, o que o isolamento faz e o que a vacina faz) e para comparar cenários entre si.

Conclusão

A matemática responde à pergunta do título: com imunidade permanente, cerca de 300 dias; com imunidade temporária, nunca. Mas o modelo mostra algo mais incômodo: é perfeitamente possível que uma vacina sem nenhum efeito pareça ter salvado milhões de vidas para quem olha apenas a curva de casos. Basta que a campanha comece perto do pico.

Os dados dos testes foram publicados. Desconfiar deles é legítimo: a história tem casos documentados de indústrias que manipularam estudos para lucrar, e a covid teve os seus episódios de falta de transparência. Mas desconfiança não é conclusão. O caminho é o mesmo que o simulador ensina: comparar. Se estudos independentes, de países rivais e de pesquisadores sem ligação com os fabricantes, chegam aos mesmos números, isso diz alguma coisa. Se não chegam, também diz.

Esta matéria não afirma que houve fraude. Afirma que a pergunta é legítima, que quem a faz não é um negacionista por isso, e que a resposta está ao alcance de quem se dispuser a auditar.

Aceitar sem verificar não é ciência. Recusar sem verificar também não.

Em resumo

Com imunidade permanente, a epidemia se esgota sozinha em cerca de 300 dias (variante ancestral) e deixa 7,4% da população sem nunca ter se infectado.
Variantes mais contagiosas encurtam esse prazo para 150 a 200 dias, com um total de mortes parecido.
O isolamento, sozinho, adia o problema. O que muda o total de mortes é a imunização antes do pico.
Numa curva de antes e depois, até uma vacina falsa pareceria funcionar. Só a comparação com um grupo placebo separa o efeito real da queda natural da epidemia.
Desconfiar não é negar. A indústria já manipulou estudos antes, e duvidar dos resultados é legítimo. O caminho é auditar e comparar com fontes independentes.
Com imunidade temporária, o vírus nunca some: ele se torna endêmico, como a gripe.

Parte 2

Explicação avançada

Esta parte documenta a formulação matemática, os parâmetros, as derivações analíticas e o método numérico usados na simulação acima. A disseminação de um vírus respiratório numa população fechada de tamanho \(N\) é modelada por sistemas de equações diferenciais ordinárias (EDOs) compartimentais.

1. Modelo SIR clássico (Kermack–McKendrick, 1927)

\[ \frac{dS}{dt} = -\frac{\beta S I}{N}, \qquad \frac{dI}{dt} = \frac{\beta S I}{N} - \gamma I, \qquad \frac{dR}{dt} = \gamma I, \qquad N = S + I + R \]

\(S(t)\): suscetíveis; \(I(t)\): infectados e infectantes; \(R(t)\): removidos (recuperados com imunidade ou óbitos);
\(\beta\): taxa efetiva de transmissão por contato;
\(\gamma = 1/D_{\text{inf}}\): taxa de remoção, sendo \(D_{\text{inf}}\) o período infeccioso.

2. Modelo SEIR (período de incubação)

Para patógenos com latência não infecciosa, como o SARS-CoV-2, introduz-se o compartimento \(E(t)\) de expostos:

\[ \frac{dS}{dt} = -\frac{\beta S I}{N}, \qquad \frac{dE}{dt} = \frac{\beta S I}{N} - \sigma E, \qquad \frac{dI}{dt} = \sigma E - \gamma I, \qquad \frac{dR}{dt} = \gamma I \]

com \(\sigma = 1/L\), onde \(L\) é a duração média da latência.

3. Modelo completo: SEIRS com óbitos, isolamento e vacinação

O modelo usado no simulador acrescenta quatro mecanismos: (i) perda de imunidade a uma taxa \(\omega\); (ii) isolamento social como redução temporária de \(\beta\); (iii) separação entre recuperados vivos \(R\) e óbitos \(D\); (iv) vacinação, que transfere suscetíveis para o compartimento \(V\).

\[ \begin{aligned} \frac{dS}{dt} &= -\beta(t)\,\frac{S I}{N} + \omega\,(R + V) - \nu(t)\,\frac{S}{N - D} \\[4pt] \frac{dE}{dt} &= \beta(t)\,\frac{S I}{N} - \sigma E \\[4pt] \frac{dI}{dt} &= \sigma E - \gamma I \\[4pt] \frac{dR}{dt} &= (1 - \mu)\,\gamma I - \omega R \\[4pt] \frac{dV}{dt} &= \nu(t)\,\frac{S}{N - D} - \omega V \\[4pt] \frac{dD}{dt} &= \mu\,\gamma I \end{aligned} \qquad N = S + E + I + R + V + D \]

O isolamento e a vacinação são funções do tempo:

\[ \beta(t) = R_0\,\gamma\,\bigl[1 - r\cdot\mathbb{1}_{[t_i,\; t_i + \Delta t)}(t)\bigr], \qquad \nu(t) = \varepsilon\, v\, N \cdot \mathbb{1}_{[t_v,\,\infty)}(t) \]

Aqui \(r\) é a redução de contatos, \(v\) é a fração da população vacinada por dia e \(\varepsilon\) é a eficácia. As doses são distribuídas entre toda a população viva (\(N - D\)), de modo que só a fração \(S/(N-D)\) delas produz novos imunes; as demais caem em quem já está imune ou infectado. Essa hipótese é conservadora e não prioriza grupos.

Parâmetros de calibração

Símbolo	Significado	Valor
\(N\)	População	8 × 10⁹ (mundo), 203,1 mi (Brasil), 44,4 mi (SP)
\(\sigma\)	Taxa de saída da latência	1/4 dia⁻¹ = 0,25
\(\gamma\)	Taxa de remoção	1/5 dia⁻¹ = 0,20
\(\beta_0\)	Transmissão sem intervenção	\(R_0\,\gamma\)
\(\mu\)	Letalidade da infecção (IFR)	0,6% (cepa ancestral)
\(\omega\)	Perda de imunidade	0, 1/270 ou 1/180 dia⁻¹
\(I(0)\)	Semente inicial	1,25 × 10⁻⁷ · N (1.000 casos no mundo)

4. Número básico de reprodução (\(R_0\))

No início do surto, \(S(0) \approx N\). No SIR, a infecção cresce se e somente se

\[ \frac{dI}{dt} > 0 \;\iff\; \Bigl(\frac{\beta S}{N} - \gamma\Bigr) I > 0 \;\overset{S \approx N}{\iff}\; \frac{\beta}{\gamma} > 1, \qquad R_0 \equiv \frac{\beta}{\gamma} \]

No SEIR sem mortalidade na fase latente, todo exposto se torna infeccioso, e o \(R_0\) permanece \(\beta/\gamma\): a latência atrasa a epidemia, mas não muda o tamanho dela.

Número efetivo de reprodução e pico

\[ R_t = R_0\,\frac{S(t)}{N}, \qquad \frac{dI}{dt} = 0 \;\iff\; R_t = 1 \;\iff\; \frac{S^*}{N} = \frac{1}{R_0} \]

No SIR, o pico de infectados coincide exatamente com o instante em que \(R_t\) cruza 1. No SEIR, o pico de \(E+I\) ocorre um pouco antes, porque ainda há expostos a caminho da fase infecciosa. Na simulação base, o pico de \(E+I\) ocorre no dia 106 e \(R_t < 1\) a partir do dia 107.

5. Limiar de imunidade de rebanho (HIT)

A proporção mínima de imunes \(p = 1 - S/N\) que impede o crescimento exponencial é

\[ \text{HIT} = 1 - \frac{1}{R_0} \]

Patógeno / cepa	\(R_0\) estimado	\(1 - 1/R_0\)	HIT
Influenza sazonal	1,3 – 1,5	\(1 - 1/1{,}3\) a \(1 - 1/1{,}5\)	23% – 33%
SARS-CoV-2 ancestral (2020)	2,5 – 3,0	\(1 - 1/2{,}8\)	64,3%
SARS-CoV-2 Delta	5,0	\(1 - 1/5\)	80,0%
SARS-CoV-2 Ômicron	8,0 – 10,0	\(1 - 1/9\)	88,9%
Sarampo	12 – 18	\(1 - 1/15\)	93,3%

6. Tamanho final da epidemia e o efeito de ultrapassagem

O HIT diz quando a epidemia começa a encolher, não quando ela termina. Depois do pico, os infectados ainda existentes continuam contaminando pessoas, e a fração total infectada ultrapassa o HIT. Com imunidade permanente, dividindo \(dS/dt\) por \(dR/dt\) no SIR e integrando de \(0\) a \(\infty\), obtém-se a equação do tamanho final:

\[ \frac{dS}{dR} = -\frac{R_0}{N}\,S \;\;\Longrightarrow\;\; \ln s_\infty = -R_0\,(1 - s_\infty), \qquad s_\infty = \frac{S(\infty)}{N} \]

A equação é transcendental e tem solução única em \((0, 1/R_0)\), que pode ser escrita com a função W de Lambert:

\[ s_\infty = -\frac{W\!\left(-R_0\, e^{-R_0}\right)}{R_0} \]

\(R_0\)	HIT (começa a encolher)	Infectados ao final \(1 - s_\infty\)	Ultrapassagem
2,8	64,3%	92,6%	+28,3 p.p.
5	80,0%	99,3%	+19,3 p.p.
9	88,9%	99,99%	+11,1 p.p.

A equação vale também para o SEIR (a latência não altera o tamanho final), e serve como validação do integrador numérico: para \(R_0 = 2{,}8\), a solução analítica dá \(s_\infty = 7{,}45\%\), e a simulação numérica chega a 7,5%.

Os óbitos no cenário base também fecham analiticamente: \(D_\infty = \mu\,N\,(1 - s_\infty) = 0{,}006 \times 8\times10^9 \times 0{,}926 \approx 44{,}4\) milhões.

7. Por que o modelo SEIRS não termina: o equilíbrio endêmico

Com \(\omega > 0\), o reservatório de suscetíveis é reabastecido continuamente, e o sistema converge para um ponto fixo com \(I^* > 0\) em vez de \(I \to 0\). Desprezando a pequena perda populacional por óbitos, basta impor que todas as derivadas se anulem:

\[ \frac{S^*}{N} = \frac{1}{R_0}, \qquad E^* = \frac{\gamma}{\sigma}\,I^*, \qquad R^* = \frac{\gamma}{\omega}\,I^* \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{I^*}{N} = \frac{1 - 1/R_0}{1 + \gamma/\sigma + \gamma/\omega} \]

Para \(R_0 = 2{,}8\), \(\gamma = 0{,}2\), \(\sigma = 0{,}25\) e \(\omega = 1/180\):

\[ \frac{I^*}{N} = \frac{0{,}643}{1 + 0{,}8 + 36} \approx 1{,}70\% \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{dD}{dt}\Big|_{*} = \mu\,\gamma\,I^* \approx 1{,}6 \times 10^5 \text{ óbitos/dia} \]

São cerca de 60 milhões de óbitos por ano no regime endêmico, o que é coerente com os cerca de 300 milhões acumulados em 5 anos pela simulação. O número é um limite superior teórico: o modelo supõe que a reinfecção tem a mesma letalidade da primeira infecção, sem nenhuma proteção celular residual. Um modelo mais realista teria \(\mu_{\text{reinfecção}} \ll \mu\).

A consequência é conceitual: no SEIRS, a pergunta "em quantos dias todos estarão imunes ou mortos?" não tem resposta finita. A vacinação reduz \(I^*\), mas, sem revacinação periódica, a imunidade vacinal também decai à taxa \(\omega\), e a endemia persiste.

8. A ilusão do antes e depois e o ensaio randomizado

No SEIR com \(\omega = 0\), \(S(t)\) é monotonicamente decrescente, logo \(R_t\) também é. Depois de cruzar 1, \(\frac{d}{dt}(E + I)\) torna-se negativo e a incidência cai independentemente de qualquer intervenção. Uma intervenção inócua introduzida em \(t_v\) próximo ao pico observa, portanto, uma queda que não causou. Com \(t_v = 90\) no cenário base, a mortalidade diária \(\mu\gamma I(t)\) cai 89% até \(t = 150\) e 99,7% até \(t = 180\), com eficácia \(\varepsilon = 0\).

No ensaio randomizado, os dois braços ficam expostos à mesma força de infecção da população:

\[ \lambda(t) = \beta(t)\,\frac{I(t)}{N}, \qquad \Lambda(t) = \int_{t_0}^{t} \lambda(u)\,du \]

Com proteção do tipo tudo ou nada (a mesma hipótese do compartimento \(V\)), a incidência acumulada em cada braço é

\[ P_{\text{placebo}}(t) = 1 - e^{-\Lambda(t)}, \qquad P_{\text{vacina}}(t) = (1 - \varepsilon)\bigl(1 - e^{-\Lambda(t)}\bigr) \]

e a eficácia estimada pelo ensaio é

\[ \hat{\varepsilon} = 1 - \frac{P_{\text{vacina}}(t)}{P_{\text{placebo}}(t)} = \varepsilon \]

A dinâmica da epidemia, \(\Lambda(t)\), cancela-se na razão. A queda natural da curva, que engana a comparação de antes e depois, afeta os dois braços igualmente e desaparece da estimativa. Para um placebo, \(\hat{\varepsilon} = 0\) em qualquer fase da epidemia. O único requisito é que \(\Lambda\) seja grande o suficiente para acumular casos, e é por isso que ensaios de vacina são conduzidos durante ondas ativas. Com proteção parcial (modelo leaky), a razão passa a depender de \(\Lambda\), mas continua exatamente 1 quando \(\varepsilon = 0\).

Óbitos após a vacinação: observado versus esperado

Para avaliar óbitos ocorridos numa janela de \(\Delta t\) dias após a vacinação, o número observado \(O\) deve ser comparado ao número esperado \(E\) sob a mortalidade de base de cada faixa etária \(a\), com \(n_a\) vacinados e probabilidade anual de morte \(q_a\) (tábua de vida):

\[ E = \sum_a n_a\left[1 - (1 - q_a)^{\Delta t / 365}\right], \qquad \text{SMR} = \frac{O}{E} \]

Com \(n = 10^5\), \(q = 0{,}15\) a \(0{,}20\) (faixa de 90 anos ou mais) e \(\Delta t = 30\), obtém-se \(E \approx 1.330\) a \(1.820\) óbitos, sem nenhum efeito da vacina. Um sinal de segurança corresponde a \(\text{SMR}\) significativamente maior que 1 (sob a hipótese nula, \(O \sim \text{Poisson}(E)\)). A razão só é válida se a população de referência for comparável em idade, estado de saúde e período. Como os vacinados primeiro tendem a ser mais saudáveis (o chamado "efeito do vacinado saudável"), esse viés pode esconder um sinal real, e deve ser controlado, por exemplo, com análises de série de casos autocontrolada (SCCS).

9. Método numérico

Integração por Runge–Kutta de 4ª ordem, com passo \(h = 0{,}25\) dia e saída diária;
Estados truncados em zero a cada passo, para evitar valores negativos por erro de arredondamento;
Fim da epidemia: primeiro dia depois do pico em que \(E + I < 1\) pessoa. Esse critério depende de \(N\), o que explica fins ligeiramente diferentes entre populações;
Imunidade de rebanho: primeiro dia em que \(R_0\,S/N < 1\), com \(R_0\) sem isolamento;
Validação: tamanho final numérico contra a solução de Lambert (erro < 0,1 p.p.) e óbitos contra \(\mu N (1 - s_\infty)\).

10. Limitações

Mistura homogênea: não há estrutura espacial, etária ou de rede de contatos. Na realidade, a heterogeneidade de contatos reduz o HIT efetivo e o tamanho final;
IFR constante: ignora a estrutura etária, o colapso hospitalar (que aumenta \(\mu\) no pico) e a melhora dos tratamentos ao longo do tempo;
Comportamento exógeno: \(\beta(t)\) só muda por decisão externa; não há reação espontânea da população ao número de casos;
Imunidade binária: o indivíduo é totalmente protegido ou totalmente suscetível. Não há proteção parcial contra casos graves;
Variantes isoladas: cada cenário tem um único \(R_0\); não há substituição de variantes nem escape imune.

Referências

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Baden, L. R. et al. Efficacy and Safety of the mRNA-1273 SARS-CoV-2 Vaccine. New England Journal of Medicine, 384, 403–416, 2021.
Kearns, C. E.; Schmidt, L. A.; Glantz, S. A. Sugar Industry and Coronary Heart Disease Research: A Historical Analysis of Internal Industry Documents. JAMA Internal Medicine, 176(11), 1680–1685, 2016.
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FDA. Final Determination Regarding Partially Hydrogenated Oils. Federal Register, junho de 2015.
Organização Mundial da Saúde. 14.9 million excess deaths associated with the COVID-19 pandemic in 2020 and 2021. Comunicado, maio de 2022.
IBGE. Censo Demográfico 2022: população do Brasil e do Estado de São Paulo.